Симметрия в пространстве - это красивое, гармоничное и уравновешенное пропорциональное соотношение частей или элементов различных форм предметов, организмов или объектов. В пространстве вокруг нас можно наблюдать очень много неживых предметов симметричной формы. Живые организмы, как простейшие, так и сложные высокоорганизованные, также в своем строении имеют элементы симметрии.
Стремление к совершенству
Симметричную форму можно отождествить с совершенством и гармонией. Недаром такие слова, как «симметрия» и «совершенство» являются синонимами в языках многих народов.
Симметрия в пространстве встречается повсюду. Многообразие форм растений и живых организмов поражает соразмерностью, согласованностью и эргономичностью формы. Тут все продумано до мелочей: поразительная красота, изящность пропорций и ничего лишнего. Все предусмотрено для наилучшей функциональности жизни.
Центральная симметрия
В пространстве окружающего нас мира неживой природы явственно видна в устройстве кристаллов. Этот вид симметрии хорошо прослеживается в строении снежинок, являющихся кристаллами льда. Их формы поражают многообразием. Но все они центрально симметричны.
Примером центральной или радиальной симметрии могут служить цветы растений: подсолнух, ромашка, ирис, астра. Этот вид симметрии еще называют поворотным. Если лепестки цветка или лучи снежинки поворачивать относительно центра, то они наложатся друг на друга.
Зеркальная симметрия
Зеркальная симметрия в пространстве окружающего нас природного мира наблюдается у растений и животных. дуба или папоротника, жук или бабочка, паук или гусеница, мышь или заяц - вот только некоторые примеры, где можно в живых организмах увидеть билатеральную, или зеркальную симметрию. Симметричны человека, а также части тела: руки, ноги. В этих формах мы наблюдаем как бы зеркальное отражение одной половины объекта от другой. Если расположить объект в плоскости, то его изображение можно мысленно согнуть посередине, и одна половинка наложится на другую.
Гипотеза возникновения симметрии
В научном мире существует несколько гипотез, с помощью которых пытаются объяснить, как возникла симметрия в пространстве нашего мира. Согласно одной из них, все, что растет вверх или вниз, подчинено закону А то, что формируется параллельно земной поверхности или под наклоном к ней, принимает зеркально-симметричную форму. Эти свойства пытаются объяснить земным притяжением от центра планеты и различной степенью освещенности объектов солнечным светом в зависимости от их расположения.
Симметрия в науке и искусстве
Симметрия в пространстве была оценена художниками, скульпторами и архитекторами еще в глубокой древности. Мы видим элементы симметрии в древних наскальных изображениях, в орнаментальных украшениях древних предметов и оружия. Египетские пирамиды и пирамиды майя, купола славянских соборов, греческих храмов и дворцов, античные арки и амфитеатры, фасад Белого дома и Московский Кремль - вот только некоторые примеры стремления к возвышенной красоте и подлинному совершенству.
Понятия симметрии серьезно разрабатывались математиками. Проведенные математические исследования позволили выделить основные закономерности симметрии на плоскости и в пространстве. Физика и химия также не обошли стороной эту интересную природную закономерность. Академик В. И. Вернадский считал, что «симметрия... охватывает свойства всех полей, с которыми имеет дело физик и химик». Благодаря симметричному строению атомов, молекулы вступают в различные реакции и обусловливают физические свойства формирования кристаллов. Даже если законы физики, устанавливающие физические величины, будут неизменны при различных преобразованиях, то можно сказать, что эти законы обладают инвариантностью или симметрией по отношению к данным преобразованиям.
МКОУ «Аннинская СОШ с УИОП»
Симметрия в пространстве
Симметрия
Симметрия в широком смысле - соответствие, неизменность, проявляемые при каких-либо изменениях, преобразованиях.
Центральная симметрия
Параллельный перенос
Осевая симметрия
Симметрия
Зеркальное отражение или зеркальная симметрия - движение евклидова пространства, множество неподвижных точек которого является гиперплоскостью (в случае трехмерного пространства - просто плоскостью).
Осевая симметрия
При осевой симметрии каждая точка фигуры переходят в точку, симметричную ей относительно плоскости
Осевая симметрия
Центральная симметрия
Центральной симметрией относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A - середина отрезка XX′.
Центральная симметрия
Центральная симметрия
Её можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.
Параллельный перенос
Параллельный перенос ― частный случай движения, при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Параллельный перенос
Симметрия в физике
В теоретической физике, поведение физической системы описывается некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин (интегралов движения ).
Симметрия в биологии
Симметрия в биологии - это закономерное расположение подобных частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии.
Симметрия в химии
Симметрия важна для химии, так как она объясняет наблюдения в спектроскопии, квантовой химии и кристаллографии.
Симметрия в религиозных символах
Предполагается, что тенденция людей видеть цель в симметрии, является одной из причин, почему симметрия часто является неотъемлемой частью символов мировых религий. Вот лишь некоторые из многих примеров, изображённые на рисунке.
Симметрия в социальных взаимодействиях
Люди наблюдают симметричную природу (также включающую асимметричный баланс) социального взаимодействия в различных контекстах. Они включают оценки взаимности, эмпатии, извинения, диалога, уважения, справедливости и мести. Симметричные взаимодействия посылают сигналы «мы одинаковые», а асимметричные взаимодействия выражают мысль «я особый, лучше, чем ты».
Конспект урока по геометрии 10 класс
Тема: Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике.
Бурганова Лилия Фаритовна,ГБПОУ «Атнинский сельскохозяйственный техникум им.Габдуллы Тукая»,
с.Большая Атня Атнинского района Республики Татарстан
Описание работы : Конспект урока по дисциплине Математика для 10 класса на тему: Симметрия в пространстве. Симметрия в природе и на практике
Назначение материала: Данный конспект разработан для проведения урока математики в 10-11 классе, материал будет полезен учителям математики старших классов при планировании уроков.
Цель:
Познавательная: обобщение и систематизация знаний по теме «Симметрия на плоскости»; усвоение обучающимися знаний о симметрии в пространстве, преобразования симметрии в пространстве.
Воспитательная: пробуждение устойчивого интереса к предмету и активизации познавательной деятельности обучающихся;
воспитание интереса к своей профессии;
Развивающая: развитие любознательности учащихся, познавательного интереса; развитие памяти; развитие способности обобщать.
Задачи: формировать интерес к изучаемой дисциплине,развивать
общеинтеллектуальные умения: сравнение, анализ, обобщение.
Дидактический материал и оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, учебник В.А.Гусев «Математика», А.Н.Погорелов «Геометрия», раздаточные материалчы (тесты)
Ход урока.
I.Организационный момент. Настрой на урок.Проверка готовности группы к уроку и приветствие всех присутствующих.II.Актуализация знаний учащихся. Ознакомление с порядком проведения урока, рекомендации обучающимся, на что необходимо обратить особое внимание, что следует записать в рабочую тетрадь.
Преподаватель предлагает угадать тему урока, ответив на вопросы (ответ: симметрия).
1.Раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. (Стереометрия)
2.Преобразование пространства, сохраняющее расстояние между соответствующими точками.(Изометрия)
3.Фигура, образованная простой замкнутой ломаной и ограниченной ею частью плоскости, называется…(Многоугольник)
4.«Геометрическое тело», поверхность которого состоит из многоугольников называется…(Многогранником)
5.Через две пересекающиеся прямые проходит…плоскость.(единственная)
6.Утверждения, которые необходимо доказать, называются…(Теорема)
7.Как называются два двугранных угла, если они имеют одну и ту же величину?(равными)
8.Плоскости, которые… хотя бы одну общую точку, называются пересекающимися.(имеют)
9.Что вы видите на рисунке? (Прямая)
Преподаватель: «Наш урок посвящен интересной и увлекательной теме раздела геометрии «Симметрия в пространстве». Мы с вами рассмотрим сегодня также симметрию в природе и на практике.
Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека, и употреблялось скульпторами ещё в V веке до н. э.
Слово «симметрия» греческое. Оно означает «соразмерность», «пропорциональность», одинаковость в расположении частей. Его широко используют все без исключения направления современной науки.
Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л.Н.Толстой говорил: «Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство. На чём же оно основано?»
Сегодня на уроке постараемся ответить на вопросы, которые поставил перед нами Толстой.
Для начала вспомним с вами из курса основной школы такие понятия, как симметрия относительно точки, симметрия относительно прямой, симметрия относительно оси.
Далее рассмотрим симметрию в пространстве, в природе и на практике.
1. Две точки называются симметричными относительно данной точки (центра симметрии) или центрально симметричными, если данная точка является серединой соединяющего их отрезка.
Центральная симметрия - отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О.
Примеры центральной симметрии
Геометрические фигуры, обладающие центральной симметрией
Точки А1 и А2 пространства называются симметричными относительно прямой l, если прямая l проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку.
Прямая l при этом называется осью симметрии точек А1 и А2
Фигура называется симметричной относительно прямой l, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой l также принадлежит этой фигуре. Прямая l называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.
Осевая симметрия вокруг нас
Фигуры, обладающие осевой симметрией-Геометрические фигуры, симметричные относительно оси:
(угол, равнобедренный треугольник, прямоугольник, ромб, равносторонний треугольник, квадрат, окружность)
Объяснение новой темы
Используя перпендикулярность прямой и плоскости, введем важное понятие симметрии относительно плоскости, или зеркальной симметрии
Роль плоскости симметрии выполняет зеркало, поэтому такая симметрия и получила название зеркальной.
При зеркальной симметрии каждая точка одной фигуры переходит в симметричную ей точку другой фигуры относительно данной плоскости.
Определение: Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости, если прямая АА1 перпендикулярна плоскости в точке О и ОМ=ОМ1
Пусть у нас есть фигура А и плоскость. Если построить точки, симметричные точкам фигуры А относительно плоскости, мы получим фигуру А1, симметричную фигуре А относительно плоскости.
Определение : Симметрией относительно плоскости называется преобразование пространства, при котором все точки переходят в симметричные им относительно этой плоскости точки.
Говорят, что точка А при симметрии относительно плоскости перешла в точку А1.
Перечислим свойства симметрии относительно плоскости:
1.Зеркальная симметрия является геометрическим преобразованием.
2.При зеркальной симметрии расстояния между соответствующими точками фигур сохраняются.
3.Симметрия относительно плоскости является изометрией.
4.Каждая фигура при зеркальной симметрии переходит в равную ей фигуру.
Мир зеркальной симметрии. Симметрия в природе и на практике.
Отражение в воде – хороший пример зеркальной симметрии в природе.
Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность. Поверхность озера играет роль зеркала, и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии...
Примерами зеркальных отражений одна другой могут служить рука человека. Эффект зеркальной симметрии часто используют на практике. Так, в обувных магазинах на витрину иногда ставят только одну туфлю. Туфля отражается в зеркале, и зрительно нам кажется, будто мы видим пару туфель.
Герман Вейль сказал: «Симметрия является той идеей, по средствам которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на I половину XX века.
Именно он сформулировал определение симметрии, установил, по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае
Действительно, симметричность приятна глазу.
Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, - всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.
В окружающем нас мире много фигур (объектов), имеющих плоскость симметрии. Плоскости симметрии имеют многие инструменты (рубанки, молотки, лопаты). Симметричны относительно плоскости трубы, подшипники, автомобили
а) Архитектурные произведения отражают исключительные свойства симметрии. Большинство зданий зеркально симметричны
б) Узоры на коврах тоже симметричны
в) Симметрия широко встречается в прикладном искусстве. Орнаменты, карнизы имеют в своей основе периодически повторяющийся узор.
г) в быту.
Симметрия в природе
Вопрос: Назовите фигуры или предметы, симметричные относительно плоскости у нас в кабинете.
Давайте послушаем выступление на данную тему (выступление заранее подготовленного обучающегося)
IV. Закрепление знаний.
1.Как вы думаете, где применяется симметрия у вас в профессии? Рассмотрим на примерах.
2.Решение задач.
а) Являются ли точки симметричными относительно данной точки
б) Какие из следующих букв имеют центр симметрии
в) Какие из следующих букв имеют ось симметрии:
г) Являются ли данные точки симметричными относительно оси?
3. Решение ребусов для логического мышления
4.Выполнение тестовой работы в 2 вариантах.
5. Задача по учебнику А.В.Погорелова «Геометрия» №16,17,18
V. Домашняя работа.
1.Ответить на вопросы по учебнику В.А.Гусев «Математика» п.22.2-22.3 стр.261
2.Подготовить презентацию на тему:«Симметрия в природе»
VI. Рефлексия
Что мы с вами проходили на этом уроке?
Перечислите виды симметрий в пространстве?
Зачем нужно знать человеку о симметрии?
VII. Заключение урока, выставление оценок.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ А А 1 О Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА1 . Точка О считается симметричной самой себе.
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Лист, снежинка, бабочка – примеры осевой симметрии. А 1 А а
СИММЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Точки А и А 1 называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии), если эта плоскость проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна этому отрезку. Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе. А А 1
Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость) симметрии, то говорят, что она обладает центральной (осевой, зеркальной) симметрией. А 1 А О А 1 А О
С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, технике, быту. Так, многие здания симметричны относительно плоскости, например главное здание Московского государственного университета, некоторые виды деталей имеют ось симметрии. Почти все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии. В геометрии центр, оси и плоскости симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическое обоснование урока. Использование знаний из физики, астрономии, МХК, биологии на уроке геометрии при обобщении систематизации сведений по теме: «Симметрия в пространстве. Правил...
Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры.
Слово симметрия в переводе с греческого звучит как гармония, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.
Центральная симметрия. Симметрия относительно точки или центральная симметрия - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам. А О В
Осевая симметрия. Симметрия относительно прямой (или осевая симметрия) - это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда будет соответствовать точка, расположенная по другую сторону прямой, а отрезки, соединяющие эти точки, будут перпендикулярны оси симметрии и делятся ею пополам. a АВ
Зеркальная симметрия Точки А и В называются симметричными относительно плоскости α (плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной сама себе. АВ α
2. Две оси симметрии имеет... a) равнобедренный треугольник; b) равнобедренная трапеция; c) ромб. 2. Какое утверждение неверное? a) Если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный. b) Если треугольник имеет две оси симметрии, то он равносторонний. c) В равностороннем треугольнике две оси симметрии.
3. Какое утверждение верное? a) В параллелограмме точка пересечения диагоналей является центром симметрии. b) В равнобедренной трапеции точка пересечения диагоналей является ее центром симметрии. c) В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан является центром его симметрии. 3. Имеет четыре оси симметрии... a) прямоугольник; b) ромб; c) квадрат.
4. Из того, что точки О и А симметричны относительно точки В, не следует, что... a) АО = 2ОВ; b) ОВ = 2АО; c) ОВ = АВ. 4. Точки А и В симметричны относительно прямой а, если они... a) лежат на перпендикуляре к прямой а; b) равноудалены от прямой а; c) лежат на перпендикуляре к прямой а и равноудалены от нее.
5. Диагональ АС четырехугольника АВСО является его осью симметрии. Этот четырехугольник не может быть... a) параллелограммом; b) ромбом; c) квадратом. 5. Из того, что точки М и N симметричны относительно точки К, следует, что... a) МК = 0,5 КN; b) МN=2МК; c) NК = 2МN.
6.ВD - высота в равнобедренном треугольнике АВС. Какое утверждение неверное? a) ВD - ось симметрии треугольника АВС. b) Точки А и С симметричны относительно точки D. c) Точка D - центр симметрии треугольника АВС. 6. Диагональ МР выпуклого четырехугольника МNРК является его осью симметрии. Этот четырехугольник не может быть... a) прямоугольником; b) ромбом; c) квадратом.
7. Прямая а делит отрезок АВ пополам. Какое утверждение верное? a) Точки А и В симметричны относительно прямой а. b) Точки А и В симметричны относительно точки пересечения прямой а и отрезка АВ. c) В данном случае нет ни осевой, ни центральной симметрии. 7. Прямая, проходящая через середину одной из сторон параллелограмма, является его осью симметрии. Тогда этот параллелограмм не может быть... a) прямоугольником; b) ромбом; c) квадратом.
8. Среди точек А (3; - 4), В (- 3; - 4), С (- 3; 4) укажите пару, симметричную относительно начала координат: a) А и В; b) В и С; c) А и С. 8. Среди точек D (4; - 7), К (- 4; 7), Р (- 4; - 7) укажите пару, симметричную относительно оси абсцисс: a) К и D; b) К и Р; c) Р и D.
9. Для прямой у = х + 2 укажите прямую, симметричную относительно оси ОY. a) у = -х + 2; b) у = х - 2; c) у = -х Для прямой у = х + 2 укажите прямую, симметричную относительно начала координат: a) у = -х + 2; b) у = х - 2; c) у = -х - 2.
Ответы: вccabacbca 2вbcccbabbb
